抄録/ポイント：
抄録/ポイント
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数値シミュレーションで「数学」を扱う際に共通的に注意すべき点について述べた。数値シミュレーション(数値計算)では,多くの場合浮動小数点数により,さまざまな量が表現される。ここで注意すべきは,数値計算で扱われる”数”は誤差を含んでいるという点である。誤差の影響は計算の進行に伴って拡大し,最終的にシミュレーションの精度に多大な影響を及ぼすことがある。そこで,本稿では,多くのシミュレーションで主たる計算核となっている連立一次方程式の求解部を題材に,計算誤差について解説した。計算機による連立一次方程式の求解法には,直接法と反復法がある。直接法としてはガウスの消去法やLU分解法等が知られ,行列の変換や代入計算を通じて解ベクトルの要素の各々を直接的に求めていく。一方,初期的に与えられる近似解に対してある手順を繰り返し適用することで解を更新し,最終的に十分な精度を持った近似解を得る方法が反復法である。ヤコビ法やガウス=ザイデル法,共役勾配(CG)法が知られている。ここで「反復法では近似解を求めるに過ぎないが,直接法では正しい解を求めることができる」という考えは誤りである。計算機上の計算には誤差が含まれるからである。得られた解が”十分な精度を持つ”かどうかは,通常,残差ベクトルを用いて判定する。連立一次方程式の求解法としてよく利用されているCG法について解説した。CG法においては,内積演算等に起因する計算誤差の影響で求解のプロセスが破綻する場合がある。この対処法として広く用いられるのが前処理である。現在,並列計算機が広く普及しているが,計算誤差の問題がより顕著になりやすい。そのため高精度な計算法の研究が近年活発に行われている。
