抄録/ポイント：
抄録/ポイント
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古典的定理がまだ成り立っている非正値演算子の重要な例を,Hilbert変換の理論によって例示した。関数f(x),(-∞<x<∞)の(通常の)Hilbert変換Hfは,(I)Hf(x)=∫<sub>-∞</sub><sup>∞</sup>f(t)/(x-t)dtによって定義される。HFはH<sub>ε</sub>fのε→0として理解される。ここでH<sub>ε</sub>f(x)=∫<sub>|t-x|>ε</sub>f(t)/(x-t)dtである。Lusin-Privaloff-Plessは,すべてのf∈L<sup>p</sup>,p≧1,に対してH<sub>ε</sub>fの各点収束を証明した。つまりほとんどすべてのxに対して極限lim<sub>ε→0</sub>Hεf(x)=Hf(x)は存在する。極限関数Hf(x)を特異積分(I)の定義と見なせる。機能Hf(x)は存在するが,それは積分できない可能性がある。M.Rieszは,f∈L<sup>p</sup>でp>1のとき,Hf∈L<sup>p</sup>でありH<sub>ε</sub>fは,p<sup>th</sup>-平均の意味でHfに収束することを示した。すなわち,f∈L<sup>p</sup>,p>1に対して,lim<sub>ε→0</sub>∫<sub>-∞</sub><sup>∞</sup>|Hf(x)-H<sub>ε</sub>f(x)|<sup>p</sup>dx=0である。さらに,M.Rieszの不等式,∫<sub>-∞</sub><sup>∞</sup>|Hf(x)|<sup>p</sup>dx≦O<sub>p</sub>∫<sub>-∞</sub><sup>∞</sup>|f(x)|<sup>p</sup>f(x)dx(p>1)が成り立つ。O<sub>p</sub>はpのみに依存する。本論文は,Hilbert変換の有界性と2つの重み付きLebegue-Hilbert空間の間の解析的射影を議論した。(翻訳著者抄録)
