抄録/ポイント：
抄録/ポイント
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Kakeya推定は,一般的に次の記述として定式化される:あらゆる方向における(ユニット)線セグメントを含むR ̄nのあらゆるコンパクト/Boel/任意部分集合はHausdorff次元n;そして,時々,あらゆる方向において完全な線を含むR ̄nのあらゆる閉じた/Boel/arbitrary部分集合はHausdorff次元nを持つ。これらの記述は,一般に等価であると予想される。さらに,集合があらゆる方向において線(セグメント)を含む条件は,方向のみの「大きい」集合に対して線(セグメント)を必要とすることによってしばしば緩和され,そこでは,大きなものは一組の正(n-1)次元Lebesgue測度を平均する。ここでは,Kakeya予測のすべての上記の形式が実際に等価であることを証明した。事実,著者らは,Hausdorff次元n-1の集合のあらゆる方向における線セグメントを含むR ̄nのあらゆる部分集合Sが少なくともdの次元を持つ必要があるように,あらゆる方向(また,あらゆる方向において線を含む次元dの閉じた集合)の単位線セグメントを含む,Hausdorff次元dのR ̄nのd≦nとコンパクトな部分集合Cが存在することを証明した。また,付加的補完によるHausdorffと充填次元の双対性に関する結果を得る:R ̄nの任意の非空Borel集合Aに対して,(1)AのHausdorff次元はn-pとして得られ,ここでpはA+B=R ̄nに対するR ̄nのBorelサブセットBの充填次元の無限である。(2)Aの充填次元はn-hとして得られ,ここでhはA+B=R ̄nに対するR ̄nのBorelサブセットBのHausdorff次元の最小値である。【JST・京大機械翻訳】
